Альберт прибыл в Америку между тысяча девятьсот семнадцатым и тысяча девятьсот двадцатым годом и сразу же был, втянут в операции Бруклинских доков. Его арестовали в начале двадцатых годов за убийство парня, который подрабатывал в порту, и провел восемнадцать месяцев в исправительной колонии.

Анастасия показал свой талант убивать, что помогло ему близко подобраться к действующей верхушке, вместе с Льюисом Бучалтером. Анастасия частично нес ответственность за восхождение к власти Лаки Лучиано. Когда в тысяча девятьсот тридцатом году Лучиано поделился с ним своими мыслями о расправе со старым Мустаче Питесом, который уже покинул мафию, Анастасия сказал, что он ждал целых восемь лет, чтобы Лучиано оказался у власти. Анастасия был очень жадным к власти и прекрасно понимал, что если Лучиано будет стоять во главе синдиката, то он тоже получит для себя роль. Анастасия был одним из тех четырех человек, которые были посланы убить Массерию в тысяча девятьсот тридцать первом году в ресторане Кони-Айленд.